Question

已知a，b∈N₊，拋物線f（x）=ax²+bx+1與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均小于1，則a+b的最小值為

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)a，b都是正整數(shù)，得出對(duì)稱軸的符號(hào)，以及△的符號(hào)，a-b+c的符號(hào)，進(jìn)而得出不等式組，分析得出a的取值即可．

解答：解：由題意可得：∵a，b都是正整數(shù)，
∴-

b

2a

＜0，

1

a

＞0，
∵拋物線y=ax²+bx+l與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，
且A、B到原點(diǎn)的距離都小于1，則點(diǎn)A，B兩點(diǎn)在0和-1之間，于是，a，b同時(shí)滿足

△=b2-4ac＞0 a-b+1＞0 -1＜- b 2a ＜0

，即

a＜ b2 4 a＞b-1 a＞ b 2

，①
①當(dāng)

b

2

≥b-1，即b≤2時(shí)，有

b2

4

≤1，又a＜

b2

4

與a是正整數(shù)矛盾，
故

b

2

＜b-1，即b＞2，若b-1≥

b2

4

，有（b-2）²≤0，則b-1＜

b2

4

，
不等式組①的解為：b-1＜a＜

b2

4

，
若b-1＜a，而a，b都是正整數(shù)，取最小的a，令a=b，則a＜

a2

4

，
解得：a＞4，
所以a取最小的數(shù)值為5．故a+b的最小值等于10．
故答案為10．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)，以及不等式組的解法等知識(shí)，題目綜合性較強(qiáng)，注意分析a，b之間的等量關(guān)系得出a的取值．