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在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上.

(1)求橢圓C1的方程;

(2)設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

 

【答案】

（1）+y2=1 （2）y=x+或y=-x-

【解析】

解:(1)因為橢圓C1的左焦點為F1(-1,0),

所以c=1.

將點P(0,1)代入橢圓方程+=1,

得=1,即b=1.

所以a2=b2+c2=2.

所以橢圓C1的方程為+y2=1.

(2)由題意可知,直線l的斜率顯然存在且不等于0,

設直線l的方程為y=kx+m,

由

消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

因為直線l與橢圓C1相切,

所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.

整理得2k2-m2+1=0.①

由消去y并整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0.

因為直線l與拋物線C2相切,

所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,

整理得km=1.②

綜合①②,解得或

所以直線l的方程為y=x+或y=-x-.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數方程（以t為參數）及普通方程．

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（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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