Question

（2009•宜春一模）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，點(diǎn)E是線段PD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)時(shí)，求二面角E-AC-D的大小；
（2）在（1）的條件下，求點(diǎn)D到平面EAC的距離；
（3）若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)且PF∥平面EAC時(shí)，求點(diǎn)E的位置．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點(diǎn)O，連接E，O，則EO∥PA，可得EO⊥面ABCD．　過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC交AC于H點(diǎn)，連接EH，利用三垂線定理可得EH⊥AC，
從而∠EHO為二面角E-AC-D的平面角．分別求出OE和OH即可．
（2）由（1）知：AC⊥平面EOH，于是平面EOH⊥平面EAC，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥EH，垂足為G，
則OG⊥平面EAC，在△EOH中，可求出OG．由于點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，因此點(diǎn)O到平面EAC的距離OG是點(diǎn)D到平面EAC 距離的一半，即可．
（3）連接FD交AC于點(diǎn)S，PF∥平面EAC，利用線面平行的性質(zhì)定理可得PF∥ES，由F為BC中點(diǎn)，可得

FS

SD

=

FC

AD

=

1

2

，于是得到

PE

ED

=

FS

SD

=

1

2

．進(jìn)而得出點(diǎn)E的位置．

解答：解：（1）取AD的中點(diǎn)O，連接E，O，則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD．
　過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC交AC于H點(diǎn)，連接EH，則EH⊥AC，
從而∠EHO為二面角E-AC-D的平面角．
在△PAD中，EO=

1

2

AP=1，在△AHO中∠HAO=45°，
∴HO=AOsin45°=

2

2

，
∴tan∠EHO=

EO

HO

=

2

，
∴二面角E-AC-D等于arctan

2

．
（2）由（1）知：AC⊥OH，AC⊥EH，因此AC⊥平面EOH，
∴平面EOH⊥平面EAC，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥EH，垂足為G，
則OG⊥平面EAC，在△EOH中，易求：OG=

3

3

．
又∵點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，因此點(diǎn)O到平面EAC的距離OG是點(diǎn)D到平面EAC 距離的一半，
即點(diǎn)D到平面EAC距離為

2 3

3

．
（3）連接FD交AC于點(diǎn)S，PF∥平面EAC，平面EAC∩平面PFD=ES，
∴PF∥ES  ①
又∵F為BC中點(diǎn)，∴

FS

SD

=

FC

AD

=

1

2

②
由①②知：

PE

ED

=

FS

SD

=

1

2

．
即：當(dāng)F是BC的中點(diǎn)且PF∥平面EAC時(shí)，有

PE

=

1

3

PD

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的定義、三垂線定理、定點(diǎn)平面的距離的求法、線面平行的性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理等是解題的關(guān)鍵．