Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設直線l：y=t²-t（其中0＜t＜

1

2

，t為常數(shù)），若直線l與f（x）的圖象以及y軸所圍成封閉圖形的面積是S₁（t），直線l與f（x）的圖象所圍成封閉圖形的面積是S₂（t），設g（t）=S₁（t）+

1

2

S₂（t），當g（t）取最小值時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由“f（0）=f（1）=0”結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性，設f（x）=a（x-

1

2

）²-

1

4

，再代點求解．
（2）要建立g（t）的模型，由于是曲線所圍成的圖象，所以用定積分求解，設直線l與f（x）的圖象的交點坐標為
（t，t²-t），再由定積分的幾何意義S₁（t）=∫₀^t[（x²-x）-（t²-t）]dx，

1

2

S₂（t）=

∫

1 2 t

[（t²-t）-（x²-x）]dx，再求和建立g（t）模型求其最值．

解答：解：（1）由二次函數(shù)圖象的對稱性，
可設f（x）=a（x-

1

2

）²-

1

4

，
又f（0）=0，∴a=1，故f（x）=x²-x．
（2）據(jù)題意，直線l與f（x）的圖象的交點坐標為（t，t²-t），由定積分的幾何意義知：
g（t）=S₁（t）+

1

2

S₂（t）
=∫₀^t[（x²-x）-（t²-t）]dx+

∫

t 1 2

[（t²-t）-（x²-x）]dx
=[（

x3

3

-

x2

2

）-（t²-t）x]|₀^t+[（t²-t）x-（

x3

3

-

x2

2

）]

|

t 1 2

=-

4

3

t³+

3

2

t²-

1

2

t+

1

12

．

而g′（t）=-4t²+3t-

1

2

=-

1

2

（8t²-6t+1）=-

1

2

（4t-1）（2t-1）．
令g′（t）=0?t=

1

4

或t=

1

2

（不合題意，舍去）．
當t∈（0，

1

4

）時，g′（t）＜0，g（t）遞減；
當t∈（

1

4

，

1

2

）時，g′（t）＞0，g（t）遞增；
故當t=

1

4

時，g（t）有最小值．

點評：本題主要考查二次函數(shù)解析式和其圖象的應用，這里涉及了曲線所圍成的面積，要用定積分解決．