Question

設定義域為R的奇函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
（2）試構(gòu)造一個滿足上述題意且在（-∞，+∞）內(nèi)不是單調(diào)遞減的函數(shù)．（不必證明）

Answer 1

解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則0＞-x₁＞-x₂（2分）
由y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)遞減函數(shù)，有f（-x₁）＜f（-x₂），（3分）
又由y=f（x）是奇函數(shù)，有-f（x₁）＜-f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）． （3分）
所以，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)． （1分）
（2）如函數(shù)滿足在（-∞，0）和（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
但在（-∞，+∞）內(nèi)不是單調(diào)遞減的函數(shù) （6分）
分析：（1）由單調(diào)性的定義可x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則0＞-x₁＞-x₂，則可得f（-x₁）＜f（-x₂），由奇函數(shù)的性質(zhì)可得-f（x₁）＜-f（x₂），進而可得f（x₁）＞f（x₂），即得單調(diào)性；
（2）舉出例子即可，舉分段函數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬基礎題．