Question

（2008•杭州二模）正方形ABCD的邊長是2，E，F(xiàn)分別是AB和CD的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成直二面角（如圖所示）．M為矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn)，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為

1

2

，那么點(diǎn)M到直線EF的距離為

2

2

．

Answer 1

分析：如圖，先過點(diǎn)M作MH⊥EF，連接BH，由∠MBE=∠MBC，得出H在∠EBC的角平分線上，即∠EBH=45°，再利用直角三角形MBH中，MH=BH×tan∠MBH即可求得點(diǎn)M到直線EF的距離．

解答：解：如圖，過點(diǎn)M作MH⊥EF，連接BH，
∵∠MBE=∠MBC，
∴H在∠EBC的角平分線上，即∠EBH=45°，
∴BH=

2

，
在直角三角形MBH中，
由于MB和平面BCF所成角的正切值為

1

2

，∴tan∠MBH=

1

2

∴MH=BH×tan∠MBH=

2

×

1

2

=

2

2

，
那么點(diǎn)M到直線EF的距離為

2

2

故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的點(diǎn)是直線與平面所成的角、點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，其中利用∠MBE=∠MBC，得出H在∠EBC的角平分線上，求出點(diǎn)H在平面BCF上射影的位置是解答本題的關(guān)鍵．