Question

已知拋物線C：和定點P（1，2），A、B為拋物線C上的兩個動點，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù)．
（I）求證：直線AB的斜率是定值；
（II）若拋物線C在A、B兩點處的切線相交于點M，求M的軌跡方程；
（III）若A′與A關(guān)于y軸成軸對稱，求直線A′B與y軸交點P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)點A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）（x_A≠x_B），直線PA的斜率為k（k≠0），則直線PB的斜率為-k，直線PA的方程為y-2=k（x-1），由消y，得2x²-kx+k-2=0，再由韋達(dá)定理可以證明直線AB的斜率是定值；
（II）設(shè)點M（x，y）由y=2x²，得y'=4x，所以直線MA的方程為：y-y_A=4x_A（x-x_A），同理可得直線MB的方程，所以，由此能求出動點M的軌跡方程．
（III）由已知，，所以k_A'B=-2k，則直線A'B的方程為y-y_B=k_A'B（x-x_B），由此能求出交點P的縱坐標(biāo)的取值范圍．
解答：解：（I）設(shè)點A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）（x_A≠x_B），直線PA的斜率為k（k≠0），
則直線PB的斜率為-k，直線PA的方程為y-2=k（x-1），
由消y，得2x²-kx+k-2=0，
因為點P在曲線C上，
所以由韋達(dá)定理得，．
所以A，同理B（），（2分）
則（4分）
或由，同理，（2分）
∴，
又y_A=2x_A²，y_B=2x_B²，
∴y_A-y_B=2（x_A+x_B）（x_A-x_B），又x_A≠x_B，
∴．（4分）

（II）設(shè)點M（x，y）由y=2x²，得y'=4x，
所以直線MA的方程為：y-y_A=4x_A（x-x_A），①
同理直線MB的方程為：y-y_B=4x_B（x-x_B），②
由①②，得，③（6分）
把③代入①整理，得，
所以動點M的軌跡方程為x=-1（y＜2且y≠-6．（8分）

（III）由已知，，所以k_A'B=-2k，
則直線A'B的方程為y-y_B=k_A'B（x-x_B），
即y-y_B=-2k（x-x_B），（10分）
令x=0整理，得y=．
點P的縱坐標(biāo)的取值范圍是（-∞，-6）∪（-6，2）．（12分）
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．