如圖所示,設(shè)拋物線方程為x2=2py (p＞0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過M 

引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B.

(1)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

(2)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2p)時(shí),|AB|=4.求此時(shí)拋物線的方程.

（1）證明略（2）拋物線方程為x2=2y或x2=4y.     


解析:

(1)證明  由題意設(shè)A,B,x1＜x2,

M.

由x2=2py得y=,則y′=,

所以kMA=,kMB=.                                                                                 2分

因此,直線MA的方程為y+2p=(x-x0),

直線MB的方程為y+2p=(x-x0).

所以,+2 p = (x1-x0),                                                                 ①

+2 p =(x2-x0).                                                                          ②           5分

由①、②得=，

因此，x0=，即2x0=.

所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.                                                               8分

（2）解  由（1）知，當(dāng)x0=2時(shí)，

將其代入①、②，并整理得：

x-4x1-4p2=0，x-4x2-4 p 2=0，

所以，x1、x2是方程x2-4x-4 p 2=0的兩根，                                                             10分

因此，x1+x2=4，x1x2=-4 p 2，

又kAB===，

所以kAB=.                                                                                                    12分

由弦長公式得

|AB|=

=.

又|AB|=4，所以p=1或p=2，

因此所求拋物線方程為x2=2y或x2=4y.                                                                    16分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次跳水訓(xùn)練時(shí)的跳水曲線為如圖所示的拋物線一段，已知跳水板AB長為2m，跳水板距水面CD的高BC為3m，CE=5m，CF=6m，為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓(xùn)練時(shí)跳水曲線應(yīng)在離起跳點(diǎn)hm（h≥1）到達(dá)距水面最大高度4m，規(guī)定：以CD為橫軸，CB為縱軸建立坐標(biāo)系．
（1）當(dāng)h=1時(shí)，求跳水曲線所在的拋物線方程；
（2）若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域EF內(nèi)如水時(shí)才能達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求，求達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求時(shí)h的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），傾斜角為
π
4
的直線l與線段OA相交（不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A）且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積 最大時(shí)直線l的方程，并求△AMN的最大面積
8
2
8
2
．

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某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次跳水訓(xùn)練時(shí)的跳水曲線為如圖所示的拋物線一段．已知跳水板AB長為2m，跳水板距水面CD的高BC為3m．為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓(xùn)練時(shí)跳水曲線應(yīng)在離起跳點(diǎn)A處水平距hm（h≥1）時(shí)達(dá)到距水面最大高度4m．規(guī)定：以CD為橫軸，BC為縱軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）當(dāng)h=1時(shí)，求跳水曲線所在的拋物線方程；
（2）若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域EF內(nèi)入水時(shí)才能達(dá)到比較好的訓(xùn)練效果，求此時(shí)h的取值范圍．

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(1)求證：·＝·．

(2)若＝2，且||＝，求橢圓方程．

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