如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，BD＝，∠ABD＝90°，E是BD上的一個動點，現(xiàn)將該平行四邊形沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，如圖2所示.

(1)若F、G分別是AD、BC的中點，且AB∥平面EFG，求證：CD∥平面EFG；
(2)當圖1中AE＋EC最小時，求圖2中二面角A－EC－B的大小.

（1）只需證CD//EG；（2）60°。

解析試題分析：(1)證明(略)       4分
(2)由圖1可知，當AE＋EC最小時，E是BD的中點
∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，∴AB⊥面BCD.
故以B為坐標原點，平行于CD的直線為x軸，
BD所在的直線為y軸，AB所在的直線為z軸，建立
如圖所示空間直角坐標系B－xyz.
則A(0，0，1)，C(1，，0)，D(0，0)，E(0，，0)
＝(0，－，1)，＝(1，，0)
設(shè)平面AEC的一個法向量為n1＝(x，y，z)
則 Þ 
解得x＝－z，y＝z
∴平面AEC的一個法向量為n1＝(－1，，1)
而平面BCE的一個法向量為n2＝(0，0，1)
∴cos<n1，n2> ＝      10'
顯然，二面角A－EC－B為銳角，所以，二面角A－EC－B的大小為60°. 12分
考點：線面平行的性質(zhì)定理；線面垂直的判定定理；二面角。
點評：二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運用向量法求二面角應(yīng)注意的是計算。很多同學都會應(yīng)用向量法求二面角，但結(jié)果往往求不對，出現(xiàn)的問題就是計算錯誤。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本小題滿分l2分)
如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD為菱形，ABC=60，EC面ABCD，F(xiàn)A面ABCD，G為BF的中點，若EG//面ABCD．

(1)求證：EG面ABF；
(2)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
四棱錐,面⊥面.側(cè)面是以為直角頂點的等腰直角三角形，底面為直角梯形，,∥，⊥,為上一點，且.

（Ⅰ）求證⊥；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）三棱錐中，，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若，且異面直線與的夾角為時，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分）
在正四棱錐V - ABCD中，P，Q分別為棱VB，VD的中點， 點M在邊BC上，且BM: BC = 1 ： 3，AB =2，VA =" 6."

(I )求證CQ∥平面PAN;
(II)求證：CQ⊥AP.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=,F是BC的中點．

（Ⅰ）求證：DA⊥平面PAC；
（Ⅱ）點G為線段PD的中點，證明CG∥平面PAF；
（Ⅲ）求三棱錐A—CDG的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，是的中點，是中點.

（1）求證：∥面；
（2）求直線EF與直線所成角的正切值；
（3）設(shè)二面角的平面角為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，，是的中點．

（1）求證：平行平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）試問線段上是否存在點，使與成角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，E、F分別是棱CC′與BB′上的點，且EC=BC=2FB=2.

（1）求證：平面AEF⊥平面AA′C′C；
（2）求截面AEF與底面ABCD所成二面角的大小.

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