Question

甲、乙兩企業(yè)，2000年的銷(xiāo)售量均為p（2000年為第一年），根據(jù)市場(chǎng)分析和預(yù)測(cè)，甲企業(yè)前n年的總銷(xiāo)量為

p

2

（n²-n+2），乙企業(yè)第n年的銷(xiāo)售量比前一年的銷(xiāo)售量多

p

2n-1

．
（1）求甲、乙兩企業(yè)第n年的銷(xiāo)售量的表達(dá)式；
（2）根據(jù)甲、乙兩企業(yè)所在地的市場(chǎng)規(guī)律，如果某企業(yè)的年的銷(xiāo)售量不足另一企業(yè)的年銷(xiāo)售量的20%，則該企業(yè)將被另一企業(yè)收購(gòu)，試判斷，哪一企業(yè)將被收購(gòu)？這個(gè)情形將在那一年出現(xiàn)？是說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用S_n=

p

2

（n²-n+2），即a_n=S_n-S_n-1，可求a_n的表達(dá)式；n≥2時(shí)，利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），可求b_n的表達(dá)式；
（2）利用（1）中a_n，b_n的表達(dá)式，代入求解，分類(lèi)計(jì)算可得，某企業(yè)的年的銷(xiāo)售量不足另一企業(yè)的年銷(xiāo)售量的20%，一企業(yè)將被另一企業(yè)收購(gòu)．

解答：解：設(shè)甲企業(yè)前n年的總銷(xiāo)量為S_n，第n年的銷(xiāo)量為a_n，乙企業(yè)第n年的銷(xiāo)售量b_n，根據(jù)題意，得S_n=

p

2

（n²-n+2），b_n=

p

2n-1

（n≥2）
a₁=S₂-S₁=p，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=p（n-1）
故a_n=

p，n=1 p(n-1)，n≥2

，
∵b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1），
∴b_n=p+

p

2

+…+

p

2n-1

=（2-

1

2n-1

）p．
（2）∵a_n≥p，b_n≥p，∴a_n＞

1

2

b_n＞

1

5

b_n，
故甲企業(yè)不可能被乙企業(yè)收購(gòu)，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=b₁=p，乙企業(yè)不可能被甲企業(yè)收購(gòu)，
當(dāng)n≥2時(shí)，
∴

1

5

a_n＞b_n?

1

5

p(n-1)＞(2-

1

2n-1

)p，
∴n＞11-

5

2n-1

，
則當(dāng)n=2，3時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證n＜11-

5

2n-1

，
當(dāng)4≤n≤10時(shí)，有11-

5

2n-1

＞10，
∴n＜11-

5

2n-1

當(dāng)n≥11時(shí)，11-

5

2n-1

＜11，所以必有n＞11-

5

2n-1

，
故當(dāng)n=11時(shí)，即2010乙企業(yè)可能被甲企業(yè)收購(gòu)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查疊加法，考查利用數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．