【題目】已知數(shù)列、滿足,,,.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:當(dāng)時,.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)推導(dǎo)出數(shù)列,可得出,利用基本不等式可得出,再由可得出,利用作差法證得,進(jìn)而可證得結(jié)論;
(Ⅱ)由可得出,結(jié)合可推導(dǎo)出,進(jìn)而得出,再利用放縮法可證得結(jié)論成立;
(Ⅲ)由可推導(dǎo)出,進(jìn)而可得出,再利用累加法及等比數(shù)列的求和公式即可證明.
(Ⅰ)因為,則為常數(shù)數(shù)列,
又,,且,則,
故,,易知,
所以(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),
因為,因此.
又,所以;
(Ⅱ)由,有,
又,則,則;
故,即,
所以,
當(dāng)時,;
當(dāng)時,,
因此,的前項和;
(Ⅲ)由,得,
又,則,故,
所以,
因此,的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖拋物線的焦點(diǎn)為,為拋物線上一點(diǎn)(在軸上方),,點(diǎn)到軸的距離為4.
(1)求拋物線方程及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)是否存在軸上的一個點(diǎn),過點(diǎn)有兩條直線,滿足,交拋物線于兩點(diǎn).與拋物線相切于點(diǎn)(不為坐標(biāo)原點(diǎn)),有成立,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與曲線的交線為直線.
(1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線與軸交于點(diǎn),與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,證明曲線分別在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線為不同的直線;
(3)已知過點(diǎn)能作曲線的三條切線,求,所滿足的條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】武漢出現(xiàn)的新型冠狀病毒是一種可以通過飛沫傳播的變異病毒,某藥物研究所為篩查該新型冠狀病毒,需要檢驗血液是否為陽性,現(xiàn)有份血液樣本,每份樣本取到的可能性均等,有以下兩種檢驗方式:①逐份檢驗,則需要檢驗n次;②混合檢驗,將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性,這k份血液全為陰性,因此這k份血液樣本檢驗一次就夠了,如果檢驗結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這k份血液再逐份檢驗,此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中,每份樣本的檢驗結(jié)果是陰性還是陽性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.
(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份為陽性,若采取逐份檢驗方式,求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率;
(2)現(xiàn)取其中份血液樣本,記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的次數(shù)為,采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為.
(i)試運(yùn)用概率統(tǒng)計知識,若,試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;
(ii)若,采用混合檢驗方式可以使得這k份血液樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少,求k的最大值.
參考數(shù)據(jù):,,,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(1)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),求的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有極大值,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年4月,河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發(fā)布高考綜合改革實施方案,決定從2018年秋季入學(xué)的高中一年級學(xué)生開始實施“”高考模式.所謂“”,即“3”是指考生必選語文、數(shù)學(xué)、外語這三科;“1”是指考生在物理、歷史兩科中任選一科;“2”是指考生在生物、化學(xué)、思想政治、地理四科中任選兩科.
(1)若某考生按照“”模式隨機(jī)選科,求選出的六科中含有“語文,數(shù)學(xué),外語,物理,化學(xué)”的概率.
(2)新冠疫情期間,為積極應(yīng)對“”新高考改革,某地高一年級積極開展線上教學(xué)活動.教育部門為了解線上教學(xué)效果,從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生2500名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測試,并給前400名頒發(fā)榮譽(yù)證書,假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測試成績服從正態(tài)分布,且滿分為450分.
①考生甲得知他的成績?yōu)?/span>270分,考試后不久了解到如下情況:“此次測試平均成績?yōu)?/span>171分,351分以上共有57人”,請用你所學(xué)的統(tǒng)計知識估計甲能否獲得榮譽(yù)證書,并說明理由;
②考生丙得知他的實際成績?yōu)?/span>430分,而考生乙告訴考生丙:“這次測試平均成績?yōu)?/span>201分,351分以上共有57人”,請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙同學(xué)辨別乙同學(xué)信息的真?zhèn)危⒄f明理由.
附:;
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.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,三棱錐S一ABC中,△ABC與△SBC都是邊長為1的正三角形,二面角A﹣BC﹣S的大小為,若S,A,B,C四點(diǎn)都在球O的表面上,則球O的表面積為( )
A.πB.πC.πD.3π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)E(a,0)的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),且滿足y1y2=﹣4,以Q為中點(diǎn)的線段的兩端點(diǎn)分別為M,N,其中N在x軸上,M在C上,則a=_____.|PM|的最小值為_____.
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