Question

已知a＞0，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)y=（x-a）ⁿ，證明y′=n（x-a）^n-1；
（Ⅱ）設(shè)f_n（x）=xⁿ-（x-a）ⁿ，對(duì)任意n≥a，證明f_n+1′（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，先求出外函數(shù)與內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求它們的乘積．
（II）先利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求x用n+1代替求出導(dǎo)函數(shù)值，易比較出兩者的大�。�
解答：解：（I）證明：令x-a=t則y=tⁿ
∴y′=nt^n-1•t′
∵t′=1
∴y′=nt^n-1
（II）f_（n+1）（x）=xⁿ⁺¹-（x-a）ⁿ⁺¹
∴f′_n+1（x）=（n+1）xⁿ-（n+1）（x-a）ⁿ
∴f′_（n+1）（n+1）=（n+1）ⁿ⁺¹-（n+1）（n+1-a）n=（n+1）（n+1）ⁿ-（n+1）（n+1-a）ⁿ
而（n+1）f_n′（n）=（n+1）nⁿ-（n+1）n（n-a）^n-1
∵（n+1）（n+1）ⁿ＞（n+1）nⁿ，
∴f′_（n+1）（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：先求外函數(shù)及內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求乘積；由導(dǎo)函數(shù)求出各個(gè)導(dǎo)函數(shù)值，比較出大小．