三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,如果此三棱錐外接球的表面積為9π,那么PA•PB+PA•PC+PB•PC的最大值為( )
A.
B.
C.9
D.18
【答案】分析:三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,擴(kuò)展為長(zhǎng)方體,二者的外接球是同一個(gè),根據(jù)球的表面積,求出球的直徑,就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng),設(shè)出三度,利用基本不等式求出表達(dá)式的最值.
解答:解:三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,擴(kuò)展為長(zhǎng)方體,二者的外接球是同一個(gè),因?yàn)槿忮F外接球的表面積為9π,
所以球的半徑為:r=,球的直徑為:3
設(shè)長(zhǎng)方體的三度為:a,b,c,所以a2+b2+c2=9
PA•PB+PA•PC+PB•PC=ab+bc+ac≤a2+b2+c2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).
故選C
點(diǎn)評(píng):本題是基礎(chǔ)題,考查球的內(nèi)接體知識(shí),基本不等式的應(yīng)用,考查空間想象能力,計(jì)算能力,三棱錐擴(kuò)展為長(zhǎng)方體是本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,△PAB是等邊三角形,∠PAC=∠PBC=90°.
(1)證明:AB⊥PC;
(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱錐P-ABC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=
π2
,PA=2,AB=AC=4,點(diǎn)D、E、F分別為BC、AB、AC的中點(diǎn).
(I)求證:EF⊥平面PAD;
(II)求點(diǎn)A到平面PEF的距離;
(III)求二面角E-PF-A的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn),OP⊥底面ABC.
(Ⅰ)當(dāng)k=
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時(shí),求直線PA與平面PBC所成角的大小;
(Ⅱ)當(dāng)k取何值時(shí),O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,△ABC為正三角形,D、E、F分別是BC,PB,CA的中點(diǎn).
(1)證明平面PBF⊥平面PAC;
(2)判斷AE是否平行于平面PFD,并說明理由;
(3)若PC=AB=2,求三棱錐P-DEF的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在正三棱錐P-ABC中,M,N分別是PB,PC的中點(diǎn),若截面AMN⊥側(cè)面PBC,則此棱錐截面與底面所成的二面角正弦值是
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