Question

9．已知函數(shù)y=a^x-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，其中m＞0，n＞0，則mn的最大值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由指數(shù)函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)y=a^x-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（1，1），代入一次函數(shù)y=mx+n，得到m+n=1，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵y=a^x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（0，1），
∴y=a^x-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（1，1），
又點(diǎn)A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，
∴m+n=1，又m＞0，n＞0，
∴mn$≤（\frac{m+n}{2}）^{2}=（\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$（當(dāng)且僅當(dāng)m=n=$\frac{1}{2}$時(shí)等號成立）．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象變換，考查了利用基本不等式求最值，是基礎(chǔ)題．