Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖及直觀圖如圖所示，根據圖中所給數據，解答下列問題：

（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）試在棱CC₁（不包含端點C、C₁）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）根據線面垂直的判定定理即可證明C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）根據線面垂直的性質，結合直角三角形的邊長關系即可確定E的位置；
（Ⅲ）根據三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積公式即可得到結論．．

解答： 解：（Ⅰ）由三視圖可知AB⊥側面BB₁C₁C，
則AB⊥BC₁，
∵BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
在△BC₁C中，由余弦定理得BC₁=

3

，故有BC²+BC₁²=CC₁²，
∴C₁B⊥BC，
∵BC∩AB=B，且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，
AE，AB?平面ABE，從而B₁E⊥平面ABE；且BE?平面ABE，
故B₁E⊥BE，設CE=x，則C₁E=2-x，
則BE²=1+x²-x，
∵∠B₁C₁C=

2π

3

，∴B₁E²=x²-5x+7，
Rt△BEB₁中，x²-5x+7+1+x²-x=4，解得x=1或x=2．
故E是CC₁的中點時，有EA⊥EB₁；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知S△ABC=

1

2

BC•AB=

1

2

×1×

2

=

2

2

，
由（Ⅰ）知C₁B⊥平面ABC，BC₁=

3

，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=3VA-CBC1=3×

1

3

S△CBC1•AB=

1

2

×2×1×sin

π

3

×

2

=

6

2

．

點評：本題主要考查線面垂直的判斷以及三棱柱的體積的計算，要求熟練掌握空間線面垂直的判定定理和三棱錐的體積公式．