Question

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l與x軸、y軸的正半軸交于兩點A、B；O為原點，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求證：曲線C與直線l相切的條件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由|OA|=a，|OB|=b設(shè)出直線l的截距式方程，把曲線C方程配方后可知曲線C為圓，找出圓心坐標與半徑，因為直線l與圓相切，所以圓心到直線l的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式列出a和b的關(guān)系式，化簡后即可得證；
（2）因為a與b都大于2，且三角形AOB為直線三角形，要求面積的最小值即要求ab的最小值，根據(jù)（1）中直線l與圓相切的條件（a-2）（b-2）=2解出ab，然后利用基本不等式即可求出ab最小時當且經(jīng)當a與b相等，求出此時的a與b即可求出面積的最小值．

解答：解：（1）證明：直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
曲線C的方程可化為（x-1）²+（y-1）²=1，
所以曲線C為圓．
圓心到直線l的距離d=

|b+a-ab|

a2+b2

，
當d=1時，直線與圓相切，
即

|b+a-ab|

a2+b2

=1，整理得（a-2）（b-2）=2，
所以曲線C與直線l相切的條件是：（a-2）（b-2）=2．
（2）由（1）得到（a-2）（b-2）=2且a＞2，b＞2，
則ab=2（a+b）-2≥4

ab

-2，當且僅當a=b時等號成立，
所以當a=b時，ab最小即三角形的面積最小，則三角形AOB為等腰直角三角形
則AB=2（

2

+1），所以a=b=

2 ( 2 +1)

2

=

2

+2，三角形的面積S=

1

2

(

2

+2)2=3+2

2

所以△AOB的面積的最小值為：3+2

2

．

點評：此題考查直線與圓相切時所滿足的條件，解題的關(guān)鍵是靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，利用基本不等式求函數(shù)的最值，是一道中檔題．