Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點A（-2，0）、B（2，0），M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為-，設(shè)動點M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）過定點T（-1，0）的動直線l與曲線C交于P，Q兩點，若S（-，0），證明：•為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)定點A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-，建立方程，化簡可得結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)動直線l的斜率不存在時，P（-1，），Q（-1，-），可得；當(dāng)動直線l的斜率存在時，設(shè)動直線l的方程聯(lián)立方程組，消去y得一元二次方程，利用韋達定理及向量的數(shù)量積運算，可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)M點坐標(biāo)為（x，y）（x≠±2）
∵定點A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-，
∴，
∴（x≠±2）
（Ⅱ）證明：當(dāng)動直線l的斜率不存在時，P（-1，），Q（-1，-），若S（-，0），．
當(dāng)動直線l的斜率存在時，設(shè)動直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），聯(lián)立方程組，消去y得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴=（x₁+），=（x₂+），
∴=（x₁+）•（x₂+）=+=．
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查存在性問題的探究，解題的關(guān)鍵是用坐標(biāo)表示出，進而確定定值．