Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上，且滿足的周長(zhǎng)為6．

（Ⅰ）求橢圓的方程；；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M使恒為定值？若存在求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）存在這樣的定點(diǎn)，使得。                                      

【解析】

試題分析：（Ⅰ）       所以橢圓的方程為

4分

（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)，設(shè)，直線方程為

則

=

聯(lián)立 消去得

令 即 ，

當(dāng)軸時(shí)，令,仍有

所以存在這樣的定點(diǎn)，使得           13分                                        

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。對(duì)于存在性問(wèn)題，往往假定存在，條件存在的條件是否具備，而明確存在與否。本題應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。