Question

14、設(shè)S為非空數(shù)集，若?x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，則稱S為封閉集．下列命題
①實(shí)數(shù)集是封閉集；
②全體虛數(shù)組成的集合是封閉集；
③封閉集一定是無(wú)限集；
④若S為封閉集，則一定有0∈S；
⑤若S，T為封閉集，且滿足S⊆U⊆T，則集合U也是封閉集，
其中真命題是

①④

．

Answer 1

分析：實(shí)數(shù)集是封閉集，若S為封閉集，則一定有0∈S，全體虛數(shù)組成的集合不是封閉集，當(dāng)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)相乘時(shí)，得到一個(gè)實(shí)數(shù)，封閉集不一定是無(wú)限集，若S，T為封閉集，且滿足S⊆U⊆T，則集合U不一定是封閉集．

解答：解：∵若?x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，
∴實(shí)數(shù)集是封閉集，若S為封閉集，則一定有0∈S，
全體虛數(shù)組成的集合不是封閉集，當(dāng)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)相乘時(shí)，得到一個(gè)實(shí)數(shù)，
封閉集不一定是無(wú)限集，故③不正確，
若S，T為封閉集，且滿足S⊆U⊆T，則集合U不一定是封閉集
綜上可知①④正確，
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題考查康托的集合論，本題解題的關(guān)鍵是正確理解封閉集的意義，能夠辨別一個(gè)集合是不是封閉集．