Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x-4|＞m對一切實數(shù)x均成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x≥4時f（x）=2x+1-（x-4）=x+5＞0得 x＞-5，所以，x≥4時，不等式成立．
當(dāng)時，f（x）=2x+1+x-4=3x-3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4時，不等式成立．
當(dāng)時，f（x）=-x-5＞0，得x＜-5，所以，x＜-5成立
綜上，原不等式的解集為：{x|x＞1或x＜-5}．
（2）f（x）+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-（2x-8）|=9，當(dāng)，
所以，f（x）+3|x-4|的最小值為9，故 m＜9．
分析：（1）分類討論，當(dāng)x≥4時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別求出不等式的解集，再把解集取交集．
（2）利用絕對值的性質(zhì)，求出f（x）+3|x-4|的最小值為9，故m＜9．
點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，求函數(shù)的最小值的方法，絕對值不等式的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．