Question

已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂且它們在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，雙曲線的離心率的取值范圍為（1，2），則該橢圓的離心率的取值范圍是

1. A.
   （0，）
2. B.
   （，）
3. C.
   （，）
4. D.
   （，1）

Answer 1

C
分析：可設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），其離心率e₁，雙曲線的方程為-=1（m＞0，n＞0），離心率為e₂，由e₁=，e₂=∈（1，2），由△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義可求得a=m+2c，從而可求得答案．
解答：設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），其離心率為e₁，雙曲線的方程為-=1（m＞0，n＞0），|F₁F₂|=2c，
∵有公共焦點的橢圓與雙曲線在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，
∴在橢圓中，|PF₁|+|PF₂|=2a，而|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=2a-2c；①
同理，在該雙曲線中，|PF₁|=2m+2c；②
由①②可得a=m+2c．
∵e₂=∈（1，2），
∴＜=＜1，
又e₁==，
∴==+2∈（，3），
∴＜e₁＜．
故選C．
點評：本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，考查等價轉(zhuǎn)換的思想與運算能力，考查倒數(shù)關(guān)系的靈活應(yīng)用，屬于難題．