Question

無窮等比數(shù)列{a_n}中，公比為q，且所有項的和為，則a₁的范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)數(shù)列為無窮等比數(shù)列，且所有項的和為，得到極限存在，即公比q大于等于-1小于等于1，且不為0，當(dāng)官公比q等于1時，數(shù)列為常數(shù)列，利用首項a₁表示出數(shù)列的前n項的和，解出a₁，當(dāng)n趨于無窮大時a₁趨于0，得到a₁大于0，當(dāng)q大于等于-1小于1時，利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出s_n，當(dāng)n趨于無窮大時，qⁿ趨于0，得到s_n==，解出a₁，根據(jù)當(dāng)q=-1時，a₁取得最大值，即可解出a₁的取值范圍，同時因為公比q不為0，得到a₁不等于，綜上，寫出a₁的取值范圍即可．
解答：解：因為數(shù)列{a_n}為無窮等比數(shù)列，且其所有項的和為，即其極限存在，
故可知|q|≤1且q≠0，即-1≤q≤1且q≠0，
當(dāng)q=1時，無窮等比數(shù)列{a_n}為常數(shù)列，設(shè)s_n為其所有項之和，則s_n=na₁=，
即a₁=，當(dāng)n→+∞時，a₁→0，即a₁＞0；
當(dāng)-1≤q＜1時，s_n=，當(dāng)n→+∞時，qⁿ→0，于是有s_n==，
即a₁=（1-q），當(dāng)q=-1時，a₁最大，所以得到0＜a₁≤，
又q≠0，得到a₁≠，
綜上，a₁的范圍是（0，）∪（，）．
故答案為：（0，）∪（，）
點評：此題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的前n項和公式化簡求值，要求學(xué)生會利用極限思想解決實際問題，是一道中檔題．學(xué)生求a₁范圍的時候注意q不為0這個條件得到a₁≠．