已知直線l:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 
(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,拋物線:x2=4
2
y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l交y軸于點(diǎn)M,且
MA
=λ1
AF
,
MB
=λ2
BF
.試判斷λ12的值是否為定值,若是求出定值,不是說明理由.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)由已知條件推導(dǎo)出c=1,b=
2
,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)設(shè)直線l交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2),由
x=my+1
x2
3
+
y2
2
=1
,得(2m2+3)y2+4my-4=0,利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明當(dāng)m變化時(shí),λ12的值是定值-3.
解答: 解:(Ⅰ)由題意知橢圓右焦點(diǎn)F(1,0),∴c=1,
拋物線x2=4
2
y
的焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,
2
)
…(1分)
b=
2
b2=2

∴a2=b2+c2=3…(3分)
∴橢圓C的方程
x2
3
+
y2
2
=1
.…(4分)
(Ⅱ)由題意知m≠0,且l與y交于M(0,-
1
m
),
設(shè)直線l交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2),
x=my+1
x2
3
+
y2
2
=1
,得(2m2+3)y2+4my-4=0,
y1+y2=
-4m
2m2+3
,y1y2=
-4
2m2+3
,
MA
1
AF
,
∴(x1,y1+
1
m
)=λ1(1-x1,-y1),
λ1=-1-
1
my1
,同理λ2=-1-
1
my2

∴λ12=-2-
1
m
1
y1
+
1
y2
).
1
y1
+
1
y2
=
y1+y2
y1y2
=
-4m
2m2+3
•(
2m2+3
-4
)=m
…(10分)
λ1+λ2=-2-
1
m
(
1
y1
+
1
y2
)=-2-
1
m
•m=-3
…(12分)
∴當(dāng)m變化時(shí),λ12的值是定值,定值為-3.…(13分)
點(diǎn)評:本題考查橢圓方程的求法,考查兩數(shù)和為定值的判斷與證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閧x|-3≤x≤8,且x≠5},值域?yàn)閧y|-1≤y≤2,且y≠0}.下列關(guān)于函數(shù)y=f(x)的說法:①當(dāng)x=-3時(shí),y=-1;②將y=f(x)的圖象補(bǔ)上點(diǎn)(5,0),得到的圖象必定是一條連續(xù)的曲線;③y=f(x)是[-3,5)上的單調(diào)函數(shù);④y=f(x)的圖象與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn).其中正確命題的個(gè)數(shù)為(  )
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F1作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),△F2PQ的周長為4
3

(1)若橢圓的離心率e=
3
3
,求橢圓的方程;
(2)若M為橢圓上一點(diǎn),
MF1
MF2
=1,求△MF1F2的面積最大時(shí)的橢圓方程.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓C,它的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為F(-
3
,0)
,右頂點(diǎn)為D(2,0).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; 
(Ⅱ)設(shè)不過原點(diǎn)的直線l:y=x+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).
     ①求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
     ②求實(shí)數(shù)m取何值時(shí)△AOB的面積最大,△AOB面積的最大值是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸,在兩種坐標(biāo)系中取相同單位的長度.已知直線l的方程為
ρcosθ-ρsinθ-1=0(ρ>0),曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=2+2sinα
(α為參數(shù)),點(diǎn)M是曲線C上的一動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)求線段OM的中點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

甲、乙、丙三位同學(xué)彼此獨(dú)立地從A、B、C、D、E五所高校中,任選2所高校參加自主招生考試(并且只能選2所高校),但同學(xué)甲特別喜歡A高校,他除選A校外,在B、C、D、E中再隨機(jī)選1所;同學(xué)乙和丙對5所高校沒有偏愛,都在5所高校中隨機(jī)選2所即可.
(Ⅰ)求甲同學(xué)未選中E高校且乙、丙都選中E高校的概率;
(Ⅱ)記X為甲、乙、丙三名同學(xué)中未參加E校自主招生考試的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

執(zhí)行如圖的程序框圖,輸出的S=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,⊙O的直徑AB=6,P是AB延長線上的一點(diǎn),過P作⊙O的切線PC,連接AC,若∠CPA=30°,則點(diǎn)O到AC的距離等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)在R上是奇函數(shù),且是增函數(shù),則函數(shù)g(x)=loga(x-k)的大致圖象是( �。�
A、
B、
C、
D、

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同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹