已知點P是圓M:x2+(y+m)2=8(m>0,m≠
2
)上一動點,點N(0,m)是圓M所在平面內一定點,線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點Q.
(Ⅰ)當P在圓M上運動時,記動點Q的軌跡為曲線Γ,判斷曲線Γ為何種曲線,并求出它的標準方程;
(Ⅱ)過原點斜率為k的直線交曲線Γ于A,B兩點,其中A在第一象限,且它在y軸上的射影為點C,直線BC交曲線Γ于另一點D,記直線AD的斜率為k′.是否存在m,使得對任意的k>0,都有|k•k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.
分析:(I)利用垂直平分線的性質可得|QN|=|QP|,進而得到||QM|-|QN||=|PM|=2
2
.利用雙曲線的定義即可得出軌跡;
(II)設A(x1,y1),D(x0,y0).則B(-x1,-y1),C(x1,0).則y1=kx1.直線BC的方程為y=
y1
2x1
(x-x1)
,即y=
k
2
(x-x1)
.與雙曲線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系,利用斜率計算公式即可得出k′,解出|kk′|=1即可.
解答:解:(I)∵|QN|=|QP|,∴||QM|-|QN||=|PM|=2
2

①當2
2
<2m
時,動點Q的軌跡曲線Γ為以點M,N為焦點,2a=2
2
為實軸的雙曲線上,其標準方程為
y2
2
-
x2
m2-2
=1

②當2
2
2m時,動點Q無軌跡.
(II)如圖所示,
設A(x1,y1),D(x0,y0).則B(-x1,-y1),C(x1,0).
則y1=kx1
直線BC的方程為y=
y1
2x1
(x-x1)
,即y=
k
2
(x-x1)

聯(lián)立
y=
k
2
(x-x1)
y2
2
-
x2
m2-2
=1
,化為(m2k2-2k2-8)x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2
x
2
1
-8)
=0.
-x1+x0=
2k2x1(m2-2)
m2k2-2k2-8
,
∴k′=
y0-y1
x0-x1
=
k
2
(x0-x1)-kx1
x0-x1
=
k
2
-
m2k2-2k2-8
2k(m2-2)

若存在m,使得對任意的k>0,都有|k•k′|=1.
則|kk′|=1,∴|
k2
2
-
m2k2-2k2-8
2m2-4
|=1

化為m2=6,解得m=±
6

因此存在m,且當m=±
6
時,滿足題意.
點評:熟練正確雙曲線的定義、直線與雙曲線相交問題轉化為直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、斜率計算公式等是解題的關鍵.
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NM
OQ
QM
OQ
=0
,記動點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若過點F(2,0)的動直線與曲線C相交于不在坐標軸上的兩點A,B,設
AF
FB
,問在x軸上是否存在定點E,使得
OF
⊥(
EA
EB
)
?若存在,求出點E的坐標,若不存在,說明理由.

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