Question

已知點P是圓M：x²+（y+m）²=8（m＞0，m≠

2

）上一動點，點N（0，m）是圓M所在平面內一定點，線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點Q．
（Ⅰ）當P在圓M上運動時，記動點Q的軌跡為曲線Γ，判斷曲線Γ為何種曲線，并求出它的標準方程；
（Ⅱ）過原點斜率為k的直線交曲線Γ于A，B兩點，其中A在第一象限，且它在y軸上的射影為點C，直線BC交曲線Γ于另一點D，記直線AD的斜率為k′．是否存在m，使得對任意的k＞0，都有|k•k′|=1？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用垂直平分線的性質可得|QN|=|QP|，進而得到||QM|-|QN||=|PM|=2

2

．利用雙曲線的定義即可得出軌跡；
（II）設A（x₁，y₁），D（x₀，y₀）．則B（-x₁，-y₁），C（x₁，0）．則y₁=kx₁．直線BC的方程為y=

y1

2x1

(x-x1)，即y=

k

2

(x-x1)．與雙曲線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，利用斜率計算公式即可得出k′，解出|kk′|=1即可．

解答：解：（I）∵|QN|=|QP|，∴||QM|-|QN||=|PM|=2

2

．
①當2

2

＜2m時，動點Q的軌跡曲線Γ為以點M，N為焦點，2a=2

2

為實軸的雙曲線上，其標準方程為

y2

2

-

x2

m2-2

=1．
②當2

2

＞2m時，動點Q無軌跡．
（II）如圖所示，
設A（x₁，y₁），D（x₀，y₀）．則B（-x₁，-y₁），C（x₁，0）．
則y₁=kx₁．
直線BC的方程為y=

y1

2x1

(x-x1)，即y=

k

2

(x-x1)．
聯(lián)立

y= k 2 (x-x1) y2 2 - x2 m2-2 =1

，化為（m²k²-2k²-8）x²-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2

x

2 1

-8)=0．
∴-x1+x0=

2k2x1(m2-2)

m2k2-2k2-8

，
∴k′=

y0-y1

x0-x1

=

k 2 (x0-x1)-kx1

x0-x1

=

k

2

-

m2k2-2k2-8

2k(m2-2)

．
若存在m，使得對任意的k＞0，都有|k•k′|=1．
則|kk′|=1，∴|

k2

2

-

m2k2-2k2-8

2m2-4

|=1，
化為m²=6，解得m=±

6

．
因此存在m，且當m=±

6

時，滿足題意．

點評：熟練正確雙曲線的定義、直線與雙曲線相交問題轉化為直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、斜率計算公式等是解題的關鍵．