Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x+1，x∈（1，+∞）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）如果數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），求證：

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

；
（3）在（2）條件下，若a₁=

3

2

，證明：1＜

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接利用配方法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求二次函數(shù)的值域；
（2）由a_n+1=f（a_n），得an+1=an2-an+1，整理變形得到

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

；
（3）由（2）中的結(jié)論得到

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+…+(

1

a2013-1

-

1

a2014-1

)=

1

a1-1

-

1

a2014-1

．結(jié)合首項(xiàng)的值及函數(shù)值域得答案．

解答： 解：（1）f（x）=x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

．
當(dāng)x=1時(shí)，y=1，
∵x∈（1，+∞）．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）；
（2）由a_n+1=f（a_n），得
an+1=an2-an+1，整理得：a_n+1-1=a_n（a_n-1），
即

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

；
（3）由

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，得

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+…+(

1

a2013-1

-

1

a2014-1

)
=

1

a1-1

-

1

a2014-1

．
∵a₁=

3

2

，且a₂₀₁₄＞1，
∴1＜

1

a1-1

-

1

a2014-1

＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)值域的求法，考查了裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．