Question

已知：集合M={f（x）|?x₀∈D，使f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）．其中集合D是f（x）的定義域}．
問：（1）函數(shù)f1(x)=

1

x

是否屬于集合M？說明理由．
（2）函數(shù)f₂=2^x+x²是否屬于集合M？說明理由．
（3）若函數(shù)f3(x)=lg

a

x2+1

∈M，試給出一個(gè)滿足要求的實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）f₁（x）∉M，不妨令f₁（x）∈M，則存在x₀，使

1

x0+1

=

1

x0

+1，解此方程，若方程有解，則說明假設(shè)成立f₁（x）∈M，否則說明不成立；
（2）f₂（x）∈M．不妨令g（x）=f₂（x+1）-f₂（x）-f₂（1），代入解析式進(jìn)行判斷，若此函數(shù)有零點(diǎn)，則說明函數(shù)f₂=2^x+x²屬于集合M，否則說明它不屬于集合M；
（3）函數(shù)f3(x)=lg

a

x2+1

∈M，則存在x₀，使得lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

，由于本題要求出一個(gè)滿足要求的實(shí)數(shù)a的值，可從此方程中將a表示為x₀的函數(shù)，得到a=

2(x0 2+1)

x0 2+2x0+2

，利用導(dǎo)數(shù)解出此函數(shù)的最值，即可得出函數(shù)的值域，即a可以存在的范圍，從中任意找出一個(gè)值即可．

解答：解：（1）由題意，f₁（x）∉M．
假若f₁（x）∈M，則存在x₀，使

1

x0+1

=

1

x0

+1，
得x₀²+x₀+1=0．此方程無解，
故f₁（x）∉M．
（2）由題意f₂（x）∈M．
令g（x）=f₂（x+1）-f₂（x）-f₂（1）=2^x+1+（x+1）²-2^x-x²-2-1=2（2^x-1+x-1），
由于g（0）=-1，g（1）=2，
故函數(shù)f₂（x）在（0，1）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)為x₀，它滿足f₂（x₀+1）=f₂（x₀）+f₂（1），
所以f₂（x）∈M．
（3）由于f3(x)=lg

a

x2+1

∈M，
得存在x₀，使得lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

，即

a

(x0+1)2+1

=

a

x02+1

×

a

2

，
所以a=

2(x0 2+1)

x0 2+2x0+2

，
令g（x）=

2(x  2+1)

x  2+2x +2

，
g′（x）=

4(x2+1)

(x2+2x+2)2

=0，得x=

-1± 5

2

，
結(jié)合如圖的圖象，函數(shù)g（x）在（-∞，

-1- 5

2

）上單調(diào)增，在（

-1- 5

2

，

-1+ 5

2

）上單調(diào)減，在（

-1+ 5

2

，+∞）上單調(diào)增，且x＜-1時(shí)g（x）＞2，x＞2時(shí)g（x）＜2，
所以g（x）的值域?yàn)閇3-

5

，3+

5

]，
于是a∈[3-

5

，3+

5

]．
可取a=3

點(diǎn)評：本考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查了分式方程的解法，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，解對數(shù)方程，利用導(dǎo)數(shù)求最值，解題的關(guān)鍵是理解題設(shè)中所給的定義，理解其運(yùn)算規(guī)則，由此得到方程，再由函數(shù)的相關(guān)知識綜合作出判斷本題綜合性強(qiáng)，尤其是第三小題的求解，需要構(gòu)造函數(shù)研究參數(shù)的取值范圍，用到了函數(shù)的思想，這是本題的難點(diǎn)，做題時(shí)根據(jù)問題選擇合適的工具可以大大降低解題的難度