Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（﹣x）+f（x+3）=0；當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，f（x）= ，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且e≈2.72，則方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的個(gè)數(shù)為（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7

Answer 1

【答案】C
【解析】解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（﹣x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=﹣f（﹣x），
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）的周期為3，
當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，f（x）= ，∴f′（x）= ，
∴函數(shù)在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，3）上單調(diào)遞減，
在[0，9]上作出y=f（x）的圖象，作出y= 的圖象，如圖所示

∴在[0，9]上，有3個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱性，可得方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的個(gè)數(shù)為6，
故選：C．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇)．