Question

設拋物線y²=4x的焦點弦被焦點分為長是m和n的兩部分，則m與n的關系是

 

．

Answer 1

分析：假設直線斜率存在，則可設出直線方程與拋物線方程聯立消去y可求得x₁+x₂，再根據拋物線的定義可求得m+n和mn，進而可求得

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

2

p

．再看當斜率不存在時，也符合．綜合可推斷

1

m

+

1

n

=

2

p

，然后根據p=2，即可得出結論．

解答：解：拋物線y²=2Px①設AB：y=k（x-

p

2

），直線方程與拋物線方程聯立消去y得
得k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0．
∴x₁+x₂=

k2p+2p

k2

．
又由拋物線定義可得
m+n=x₁+x₂+p=

2k2p+2p

k2

=

2p(k2+1)

k2

，
m•n=（x₁+

p

2

）（x₂+

p

2

）=

p(k2+1)

k2

，
∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

2

p

．
②若k不存在，則AB方程為x=-

p

2

，顯然符合本題．
綜合①②有

1

m

+

1

n

=

2

p

∵p=2
∴

1

m

+

1

n

=1
故答案為

1

m

+

1

n

=1

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質及拋物線與直線的關系．當遇到拋物線焦點弦問題時，常根據焦點設出直線方程與拋物線方程聯立，把韋達定理和拋物線定義相結合解決問題．