Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）對任意a≤-3，使得f（1）是函數(shù)f（x）的區(qū)間[1，b]（b＞1）上的最大值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）無論-

2a

3

＜b，還是-

2a

3

≥b，只需f（1）≥f（b）就能使得f（1）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，b]（b＞1）上的最大值，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=3x2+2ax=3x(x+

2

3

a)------------------------------------（2分）
當(dāng)a=0，f'（x）≥0，函數(shù)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）
當(dāng)a＞0，遞增區(qū)間是(-∞，-

2

3

a)，(0，+∞)
當(dāng)a＜0，遞增區(qū)間是(-∞，0)，(-

2a

3

，+∞)-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ） 因?yàn)閍≤-3，所以-

2

3

a≥2
所以無論-

2a

3

＜b，還是-

2a

3

≥b，只需f（1）≥f（b）就能使得f（1）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，b]（b＞1）上的最大值，--------------------------------------------------------------------（8分）
化簡得b³+ab²-a-1≤0
令g（a）=（b²-1）a+b³-1，∵b＞1，∴g（-3）=-3（b²-1）+b³-1≤0(b-1)(b2-2b-2)≤0，1＜b≤1+

3

所以b的取值范圍是(1，1+

3

]．----------------------------------------（12分）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．