Question

已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且滿足：a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）若1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，求i的值；
（2）設(shè)，是否存在一個(gè)最小的常數(shù)m使得b₁+b₂+…+b_n＜m對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立，若存在，求出常數(shù)m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用方程組思想，確定等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，再利用1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，建立方程，即可求i的值；
（2）求得數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可求得m的值．
解答：解：（1）由題意，∵a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
∴（a₁+d）（a₁+3d）=65，a₁+a₁+4d=18．
∵d＞0，∴d=4，a₁=1
∴a_n=4n-3，
∵a₁，a_i，a₂₁是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，
∴a₁a₂₁=
∴1•81=（4i-3）²
∵1＜i＜21，∴i=3；
（2）由（1）可得
∴==（）
∴b₁+b₂+…+b_n=（+…+）==
∵b₁+b₂+…+b_n＜m對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立，
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確運(yùn)用求和公式是關(guān)鍵．