Question

設(shè)數(shù)列{a_n}前和n為S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m為常數(shù)，m≠-3，且m≠0．
（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的公比q=f（m）=且數(shù)列{b_n}中，，求b_n的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用式子（3-m）S_n+2ma_n=m+3求出（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，相減得到為常蘇，即可得證．
（2）先求出b₁=1，再根據(jù)題意得到數(shù)列{b_n}的表達(dá)式，構(gòu)造新的數(shù)列，求出新蘇烈的表達(dá)式，進(jìn)而求出數(shù)列{b_n}的表達(dá)式．
解答：解：（1）證明：有（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，（2分）
兩式相減，得（3+m）a_n+1=2ma_n（m≠3）（4分）
∴為常數(shù)，∴{a_n}是等比數(shù)列（5分）

（2）由（3-m）a₁+2ma₁=m+3，得（m+3）a₁=m+3，∵m≠-3∴a₁=1，b₁=1，（6分）
，且n≥2時(shí)，，（7分）
，（9分）
∴ 是1為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，（10分）
∴（11分）
∴（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等比數(shù)列的這鞥名以及構(gòu)造新數(shù)列求解數(shù)列表達(dá)式的方法．