已知函數(shù)f ( x )=
1-m+lnxx
，m∈R．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．
分析：（1）由導數(shù)運算法則知，f′ ( x )=
m-lnx
x2
，再利用導數(shù)與單調性關系解得即可；
（2）存在性問題，只需等價于只需
lnx
x
在（0，+∞）上的最大值小于a即可，函數(shù)的最值問題利用導數(shù)解決．
解答：解：（Ⅰ）由導數(shù)運算法則知，f′ ( x )=
m-lnx
x2
．
令f'（x）=0，得x=em．（3分）
當x∈（0，em）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（em，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
故當x=em時，f（x）有極大值，且極大值為f（em）=e-m．（6分）
（Ⅱ）欲使lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，只需
lnx
x
＜a在（0，+∞）上恒成立，
等價于只需
lnx
x
在（0，+∞）上的最大值小于a．（9分）
設g ( x )=
lnx
x
（x＞0），由（Ⅰ）知，g（x）在x=e處取得最大值
1
e
．
所以a＞
1
e
，即a的取值范圍為( 
1
e
 ， +∞ )．（13分）
點評：本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式等基礎知識，以及綜合運用上述知識分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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