Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（　�。�

• A、

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1
• B、

  x2

  42

  -

  y2

  52

  =1
• C、

  x2

  32

  -

  y2

  62

  =1
• D、

  x2

  62

  -

  y2

  32

  =1

Answer 1

分析：由題意因為圓C：x²+y²-6x+5=0把它變成圓的標準方程知其圓心為（3，0），利用雙曲線的右焦點為圓C的圓心及雙曲線的標準方程建立a，b的方程．再利用雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切，建立另一個a，b的方程．

解答：解：因為圓C：x²+y²-6x+5=0?（x-3）²+y²=4，由此知道圓心C（3，0），圓的半徑為2，又因為雙曲線的右焦點為圓C的圓心而雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），∴a²+b²=9①又雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切，而雙曲線的漸近線方程為：y=±

b

a

x?bx±ay=0，∴

|3b|

a2+b2

=2    ②  連接①②得

b=2 a2=5

所以雙曲線的方程為：

x2

5

-

y2

4

=1，
故選A．

點評：此題重點考查了直線與圓相切的等價條件，還考查了雙曲線及圓的標準方程及利用方程的思想進行解題．