在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F（4m，0）（M＞0，m為常數(shù)），離心率等于0.8，過焦點F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C于M、N兩點．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若θ=90°時，
1
MF
+
1
NF
=
5
2
9
，求實數(shù)m；
（3）試問
1
MF
+
1
NF
的值是否與θ的大小無關(guān)，并證明你的結(jié)論．
分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出MF、NF，利用
1
MF
+
1
NF
=
5
2
9
，即可求實數(shù)m；
（3）分類討論，利用焦半徑公式，結(jié)合韋達定理，可知
1
MF
+
1
NF
的值與θ的大小無關(guān)．
解答：解：（1）由題意，c=4m，
c
a
=0.8，∴a=5m，b=3m，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
25m2
+
y2
9m2
=1；
（2）θ=90°時，N（4m，
9
5
m），NF=MF=
9
5
m
∵
1
MF
+
1
NF
=
5
2
9
，∴
10
9m
=
5
2
9
，∴m=
2
；
（3）
1
MF
+
1
NF
=
10
9m
，證明如下：
由（2）知，當(dāng)斜率不存在時，
1
MF
+
1
NF
=
10
9m

當(dāng)斜率存在時，設(shè)1：y=k（x-4m）代入橢圓方程得（9+25k2）x2-200mk2x+25m2（16k2-9）=0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則MF=e（
25m
4
-x1）=5m-
4
5
x1，NF=5m-
4
5
x2，
∴
1
MF
+
1
NF
=
10m-
4
5
(x1+x2)
25m2-4m(x1+x2)+
16
25
x1x2
=
10
9m
與θ無關(guān)．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案