Question

（幾何證明選講選做題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AP和過C的切線互相垂直，垂足為P，過B的切線交過C的切線于T，PB交⊙O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，則PQ•PB=

3

．

Answer 1

分析：連接AC、AB、OC，利用切線的性質(zhì)定理可得：在四邊形OBTC中，∠OCT=∠OBT=90°，從而得到∠COB=180°-120°=60°，故△OBC是等邊三角形．接下來Rt△ABC中，利用三角函數(shù)定義得AC=ABsin60°=2

3

，再在Rt△PAC中，算出PC=ACcos60°=

3

，最后利用切割線定理得到PQ•PB=PC²=3．

解答：解：連接AC、AB、OC，
∵PT與圓O相切于點C，∴OC⊥PT，同理可得BT⊥AB
四邊形OBTC中，∠OCT=∠OBT=90°
∴∠COB+∠CTB=180°，可得∠COB=180°-120°=60°
∵OC=OB，∴△OBC是等邊三角形，可得∠OBC=60°
∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，
Rt△ABC中，AB=4，可得AC=ABsin60°=2

3

∵PC與圓O相切于點C，∴∠PCA=∠CBA=60°
∵AP⊥PC，∴Rt△PAC中，PC=ACcos60°=

3

∵PC與圓O相切于點C，PQB是圓O的割線
∴PQ•PB=PC²=3
故答案為：3

點評：本題借助于圓的切線和含有60°的直角三角形，求切線長的值，著重考查了直角三角形中三角函數(shù)的定義、四邊形內(nèi)角和與圓中的比例線段等知識，屬于基礎(chǔ)題．