Question

空間一點P到三條兩兩垂直的射線OA，OB，OC的距離分別是

3

，2，

5

，且垂足分別是A₁，B₁，C₁，則三棱錐P-A₁B₁C₁的體積為（　�。�

• A．

  5

• B．

  6

  2

• C．

  3

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：由已知，P，A₁，B₁，C₁，四點可以是一個長方體的四個頂點，利用數(shù)據(jù)求出長方體長寬高，再利用體積公式計算三棱錐P-A₁B₁C₁的體積．

解答：解：由已知，構(gòu)造出如圖所示的長方體．
設(shè)長方體長寬高分別為a，b，c則
a²+b²=3，a²+c²=4，c²+a²=5
解得a=1，b=

2

，c=

3

三棱錐P-A₁B₁C₁的體積等于長方體體積減去以三棱錐P-A₁B₁C₁的四個面為底面的四個小三棱錐的體積．
這四個小三棱錐的體積相等，均為

1

3

×

1

2

abc=

6

6

所以V=1×

2

×

3

-4×

6

6

=

6

3

故選D

點評：本題考查幾何體體積的計算，本題構(gòu)造出長方體是關(guān)鍵．并且在計算過程中采用了間接法．需具有空間想象，轉(zhuǎn)化計算等能力．