Question

18．對(duì)任意實(shí)數(shù)，若f（x+m）=$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$（m＞0）成立，
①證明f（x）是以2m為周期的函數(shù)；
②若f（x）在（-m，m]上的解析式是f（x）=x²，寫(xiě)出f（x）在區(qū)間（m，3m]及R上的解析式（不必寫(xiě)過(guò)程）

Answer 1

分析 ①根據(jù)周期函數(shù)的定義以及所給的關(guān)系式即可證明；
②根據(jù)f（x）是以2m為周期的函數(shù)，即可得到f（x）在區(qū)間（m，3m]及R上的解析式．

解答 解：①證明：f（x+2m）=$\frac{1-f（x+m）}{1+f（x+m）}$=$\frac{1-\frac{1-f（x）}{1+f（x）}}{1+\frac{1-f（x）}{1+f（x）}}$=f（x），
∴f（x）是以2m為周期的函數(shù)；
②∵x∈（m，3m]，
∴x-2m∈（-m，m]，
∴f（x-2m）=f（x-2m）²，
∴f（x）=f（x-2m）²．
∴f（x）在區(qū)間（m，3m]上的解析式為f（x）=（x-2m）²．
∴f（x）在R上的解析式為f（x）=（x-2m）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了周期函數(shù)的定義和周期函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．