Question

7、已知直線y=3x+1與曲線y=x³+mx+n相切于點(diǎn)（1，4），則m=

0

．

Answer 1

分析：由于直線y=3x+1與曲線y=x³+mx+n相切于點(diǎn)（1，4），將切點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，得到關(guān)于m，n 的方程，再求出在點(diǎn)（1，4）處的切線的斜率的值，即利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再列出一個等式，最后解方程組即可得．從而問題解決．

解答：解：∵直線y=3x+1與曲線y=x³+mx+n相切于點(diǎn)（1，4），
將切點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程得：
1+m+n=3，…①
∵y=x³+mx+n，
∴y'=3x²+m，當(dāng)x=1時，y'=3+m得切線的斜率為3+m，
所以k=3+m=3；
∴m=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力及方程思想．屬于基礎(chǔ)題．