Question

如圖，兩個圓形飛輪通過皮帶傳動，大飛輪O₁的半徑為2r（r為常數），小飛輪O₂的半徑為r，O₁O₂=4r．在大飛輪的邊緣上有兩個點A，B，滿足，在小飛輪的邊緣上有點C．設大飛輪逆時針旋轉一圈，傳動開始時，點B，C在水平直線O₁O₂上．
（1）求點A到達最高點時A，C間的距離；
（2）求點B，C在傳動過程中高度差的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O₁為坐標系的原點，O₁O₂所在直線為x軸，當點A到達最高點時，點A繞O₁轉過，則點C繞O₂轉過，確定A、C的坐標，即可求得A，C間的距離；
（2）由題意，設大飛輪轉過的角度為θ，則小飛輪轉過的角度為2θ，其中θ∈[0，2π]，可求得點B，C高度差為d=2r|sinθ-sinθcosθ|，構造函數f（θ）=sinθ-sinθcosθ，θ∈[0，2π]，求導函數確定函數的單調性、極值與最值，即可求得結論．
解答：解：（1）以O₁為坐標系的原點，O₁O₂所在直線為x軸，如圖所示建立直角坐標系．
當點A到達最高點時，點A繞O₁轉過，則點C繞O₂轉過．（2分）
此時A（0，2r），C．（4分）
∴AC=．（5分）
（2）由題意，設大飛輪轉過的角度為θ，則小飛輪轉過的角度為2θ，其中θ∈[0，2π]．
此時B（2rcosθ，2rsinθ），C（4r+rcos2θ，rsin2θ），（6分）
記點B，C高度差為d，則d=|2rsinθ-rsin2θ|，即d=2r|sinθ-sinθcosθ|．（7分）
設f（θ）=sinθ-sinθcosθ，θ∈[0，2π]，則f′（θ）=（1-cosθ）（2cosθ+1）．（8分）
令f′（θ）=（1-cosθ）（2cosθ+1）=0，得cosθ=-或1．（9分）
則θ=π，π，0或2π．（10分）
列表：

θ		（0，）	π	（，）		（）	2π
f′（θ）		+		-		+
f（θ）		?	極大值f（）	?	極小值f（）	?

∴當θ=時，f（θ）取得極大值為；當θ=時，f（θ）取得極小值為-．
∴點B，C在傳動中高度差的最大值d_max=r．（14分）
點評：本題考查三角函數知識的運用，考查函數模型的構建，考查利用導數法解決實際問題，綜合性強．