已知函數(shù)f(x)=
4x-2
x+1
(x≠-1,x∈R)
,數(shù)列{an}滿(mǎn)足 a1=a(a≠-1,a∈R),an+1=f(an)(n∈N*).
(1)若數(shù)列{an}是常數(shù)列,求a的值;
(2)當(dāng)a1=4時(shí),記bn=
an-2
a n-1
(n∈N*)
,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出通項(xiàng)公式an
分析:(1)由f(x)以及an+1=f(an)知,數(shù)列{an}是常數(shù)列時(shí),an+1=an=a,代入整理,求出a的值.
(2)由題意求得b1的值,根據(jù)定義證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,求出通項(xiàng)公式bn;由bn求出{an}的通項(xiàng)公式.
解答:解:(1)∵f(x)=
4x-2
x+1
,a1=a,an+1=f(an)(n∈N*)
,當(dāng)數(shù)列{an}是常數(shù)列時(shí),an+1=an=a,即a=
4a-2
a+1
,解得a=2,或a=1;∴所求實(shí)數(shù)a的值是1或2.
(2)∵a1=4,bn=
an-2
an-1
(n∈N*)
,
∴b1=
2
3
,
∴bn+1=
an+1-2
an+1-1
=
f(an)-2
f(an)-1
=
4an-2
an+1
-2
4an-2
an+1
-1
=
2an-4
3an-3
=
2
3
×
an-2
an-1

bn+1=
2
3
bn(n∈N*)

∴數(shù)列{bn}是以b1=
2
3
為首項(xiàng),公比為q=
2
3
的等比數(shù)列,
于是bn=
2
3
(
2
3
)n-1=(
2
3
)n(n∈N*)

bn=
an-2
an-1
,即
an-2
an-1
=(
2
3
)n
,解得an=
(
2
3
)
n
-2
(
2
3
)
n
-1
(n∈N*)

∴所求的通項(xiàng)公式an=
(
2
3
)
n
-2
(
2
3
)
n
-1
(n∈N*)
點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用,本題中用函數(shù)解析式表示數(shù)列的遞推公式,推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式,計(jì)算量大,是較難的題目.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
4(a-3)x+a+
1
2
(x<0)
ax,(x≥0)
,若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,
1
8
),則a=
 
;若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意x1≠x2,
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0
都有成立,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
4-x2
|x-3|-3
,則它是(  )
A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)
C、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x>0)
2(x=0)
1-2x(x<0)
,
(1)求f(a2+1)(a∈R),f(f(3))的值;
(2)當(dāng)-4≤x<3時(shí),求f(x)取值的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
4•2x+2
2x+1
+x•cosx (-1≤x≤1)
,且f(x)存在最大值M和最小值N,則M、N一定滿(mǎn)足( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x>0)
2(x=0)
1-2x(x<0)
,
(1)畫(huà)出函數(shù)f(x)圖象;
(2)求f(a2+1)(a∈R),f(f(3))的值;
(3)當(dāng)-4≤x<3時(shí),求f(x)取值的集合.

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