Question

若一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和為4．
（ I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（ II）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，在曲線C任取一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線段QD，D為垂足，當(dāng)Q在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段QD的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的定義，可得點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程采用待定系數(shù)法即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)Q（x′，y′），QD中點(diǎn)為M（x，y），根據(jù)題意得x′=x，y′=2y，將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入P的軌跡方程化簡(jiǎn)整理，即可得到線段QD的中點(diǎn)M的軌跡方程．
解答：解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和為4．
∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，2a=4得a=2，c=
因此b²=a²-c²=1，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+=1；
（2）設(shè)Q（x′，y′），QD中點(diǎn)為M（x，y），
依題意x=x′，y=y′，∴x′=x，y′=2y
∵點(diǎn)Q在x²+=1上，
∴（x'）²+=1，即x²+y²=1
因此，線段QD的中點(diǎn)軌跡方程為x²+y²=1．
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求該點(diǎn)的軌跡方程，著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．