Question

已知以點(diǎn)C（t，

2

t

）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：△AOB的面積為定值；
（Ⅱ）設(shè)直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)P、Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C的動點(diǎn)，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意寫出圓C的方程，整理后分別令y=0與x=0求出對應(yīng)的x與y的值，確定出A與B坐標(biāo)，求出三角形AOB面積，即可得證；
（Ⅱ）根據(jù)|OM|=|ON|，得到O在MN的中垂線上，設(shè)MN中點(diǎn)為H，得到CH與MN垂直，進(jìn)而確定出C，H，O共線，求出直線OC斜率，得到t的值確定出圓心C坐標(biāo)，即可得到圓C的方程；
（Ⅲ）找出B關(guān)于x+y+2=0的對稱點(diǎn)B′坐標(biāo)，利用三角形兩邊之和大于第三邊求出|PB|+|PQ|的最小值，以及此時(shí)直線B′C的方程，即可求出交點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知，圓C的方程為（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，化簡得x²-2tx+y²-

4

t

y=0，
當(dāng)y=0時(shí)，x=0或2t，則A（2t，0）；當(dāng)x=0時(shí)，y=0或

4

t

，則B（0，

4

t

），
∴S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

×|2t|×|

4

t

|=4為定值；
（II）∵|OM|=|ON|，
∴原點(diǎn)O在MN的中垂線上，
設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN，
∴C、H、O三點(diǎn)共線，
則直線OC的斜率k=

2 t

t

=

2

t2

=

1

2

，
∴t=2或t=-2，
∴圓心C（2，1）或C（-2，-1），
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5，
由于當(dāng)圓方程為（x-2）²+（y+1）²=5時(shí)，直線2x+y-4=0到圓心的距離d＞r，此時(shí)不滿足直線與圓相交，故舍去；
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5；
（Ⅲ）點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點(diǎn)為B′（-4，-2），
則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圓上點(diǎn)Q的最短距離為|B′C|-r=

(-6)2+32

-

5

=3

5

-

5

=2

5

，
∴|PB|+|PQ|的最小值為2

5

，直線B′C的方程為y=

1

2

x，
則直線B′C與直線x+y+2=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

4

3

，-

2

3

）．

點(diǎn)評：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式，對稱的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，以及兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．