Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的點(diǎn) （

3

，

3

2

）到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）A，B是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，設(shè)D（4，0），連接DB交橢圓于另一點(diǎn)F，證明直線AE恒過x軸上的定點(diǎn)P；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)P的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求

OM

•

ON

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

3 a2 + 3 4b2 =1 2a=4

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線BD的方程為y=k（x-4），聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k (x-4)

，得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，設(shè)點(diǎn)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則A（x₁，-y₁），由已知條件推導(dǎo)出x=1．由此能證明直線AE恒過x軸上的定點(diǎn)P．
（Ⅲ）當(dāng)過P點(diǎn)的直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=m（x-1），且M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）在橢圓上，推導(dǎo)出

OM

•

ON

∈[-4，-

5

4

)，當(dāng)過P點(diǎn)的直線MN的斜率不存在時(shí)，

OM

•

ON

=-

5

4

，由此能求出

OM

•

ON

的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的點(diǎn) （

3

，

3

2

）到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，
∴

3 a2 + 3 4b2 =1 2a=4

，
解得a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）證明：由題意知BD的斜率存在，設(shè)直線BD的方程為y=k（x-4），
聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k (x-4)

，得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，①
設(shè)點(diǎn)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則A（x₁，-y₁），
直線AE的方程為y-y₂=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)

y2-y1

x2-x1

(x-x2)，
令y=0，得x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

，
將y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入上式，
整理，得x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

，②
由①得x1+x2=

32k2

4k2+3

，x1x2=

64k2-12

4k2+3

，將其代入②，
整理，得x=1．
∴直線AE與x軸相交于P（1，0），即直線AE恒過x軸上的定點(diǎn)P．
（Ⅲ）當(dāng)過P點(diǎn)的直線MN的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線MN的方程為y=m（x-1），且M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）在橢圓上，
由

x2

4

+

y2

3

=1，y=m(x-1)，得（4m²+3）x²-8m²x+4m²-12=0，
△=64m⁴-4（4m²+3）（4m²-12）=144m²+144＞0，
∴xM+xN=

8m2

4m2+3

，x_M•x_N=

4m2-12

4m2+3

，y_My_N=-

9m2

4m2+3

，
則

OM

•

ON

=x_Mx_N+y_My_N=-

5m2+12

4m2+3

=-

5

4

-

33

4(4m2+3)

，
∵m²≥0，∴-

11

4

≤

33

4(4m2+3)

＜0，
∴

OM

•

ON

∈[-4，-

5

4

)，
當(dāng)過P點(diǎn)的直線MN的斜率不存在時(shí)，
直線MN的方程為x=1，M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），
此時(shí)

OM

•

ON

=-

5

4

，
∴

OM

•

ON

的取值范圍是[-4，-

5

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過x軸上的定點(diǎn)，考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．