Question

17．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{{b{\;}^2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓C上的點(diǎn)A（1，$\frac{3}{2}$）到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)的距離之和等于4．
（1）求出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)P（0，$\frac{3}{2}$）的直線與橢圓交于兩點(diǎn)M，N，若以M，N為直徑的圓通過原點(diǎn)，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1，2a=4，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)直線MN的方程為：y=kx+$\frac{3}{2}$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線方程與題意方程聯(lián)立化為：（3+4k²）x²+12kx-3=0，由$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁y₂=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入解出k即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1，2a=4，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（±1，0）．
（2）設(shè)直線MN的方程為：y=kx+$\frac{3}{2}$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{3}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+12kx-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-12k}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{-3}{3+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁y₂=0，
∴x₁•x₂+$（k{x}_{1}+\frac{3}{2}）$$（k{x}_{2}+\frac{3}{2}）$=0，
∴（1+k²）x₁•x₂+$\frac{3}{2}$k（x₁+x₂）+$\frac{9}{4}$=0，
∴（1+k²）•$\frac{-3}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3}{2}$k•$\frac{-12k}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{9}{4}$=0，
化為：16k²=5，
解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{4}$．
∴直線MN的方程為y=$±\frac{\sqrt{5}}{4}$x+$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．