Question

已知點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB，設(shè)圓C的方程為x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0．
（1）證明：圓C是以線段AB為直徑的圓；
（2）當(dāng)圓心C到直線x-2y=0的距離的最小值為

5

時(shí)，求P的值．

Answer 1

分析：（1）利用OA⊥OB，可得數(shù)量積為零，把兩個(gè)式子進(jìn)行比較，整理得到結(jié)果．
（2）根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，整理變化得到圓心的軌跡方程，表示出圓心到直線的距離，根據(jù)二次函數(shù)的最值得到結(jié)果，本題考查運(yùn)算能力．

解答：（1）證明：因?yàn)镺A⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0①
設(shè)點(diǎn)M（x，y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則

MA

•

MB

=0
即（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0
展開上式并將 ①代入得x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0
故圓C是以線段AB為直徑的圓；
（2）解：設(shè)圓C的圓心為C（x，y），
則x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂（p＞0），
∴x₁x₂=

y12y22

4p2

又∵x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂=-y₁y₂
∴-y₁y₂=

y12y22

4p2

∴y₁y₂=-4p²
∴x=

x1+x2

2

=

1

4p

（y₁²+y₂²）
=

1

4p

（y₁²+y₂²+2y₁y₂）-

y1y2

2p

=

1

p

（y²+2p²）
∴圓心的軌跡方程為：y²=px-2p²
設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d，則d=

|x-2y|

5

=

|(y-p)2+p2|

5 p

≥

p

5

∴當(dāng)y=p時(shí)，d有最小值

p

5

∴

p

5

=

5

∴p=5．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，圓與拋物線的方程，點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．