Question

21.我們?cè)谙旅娴谋砀駜?nèi)填寫(xiě)數(shù)值：先將第1行的所有空格填上1；再把一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為的數(shù)列依次填入第一列的空格內(nèi)；然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫(xiě)其它空格.

	第1列	第2列	第3列	…	第列
第1行	1	1	1	…	1
第2行
第3行
…	…
第行

(1) 設(shè)第2行的數(shù)依次為，試用表示的值；

(2) 設(shè)第3列的數(shù)依次為，求證：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，；

(3) 請(qǐng)?jiān)谝韵聝蓚�(gè)問(wèn)題中選擇一個(gè)進(jìn)行研究 (只能選擇一個(gè)問(wèn)題，如果都選，被認(rèn)為選擇了第一問(wèn)）.

    ① 能否找到的值，使得(2) 中的數(shù)列的前項(xiàng) () 成為等比數(shù)列？若能找到，m的值有多少個(gè)？若不能找到，說(shuō)明理由.

    ② 能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，還有不同的兩列數(shù)的前三項(xiàng)各自依次成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由.

Answer 1

[解] (1) ，

所以 .   

(2) ，，

，   

由 ，

得 .   

(3) ①先設(shè)成等比數(shù)列，由，得 ， .

此時(shí) ，，

所以是一個(gè)公比為的等比數(shù)列.   

如果，為等比數(shù)列，那么一定是等比數(shù)列.

由上所述，此時(shí)，，，，… 由于，

因此，對(duì)于任意，一定不是等比數(shù)列.   

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列

② 設(shè)和分別為第列和第列的前三項(xiàng)，，

則，

若第列的前三項(xiàng)是等比數(shù)列，則由，得

，

， .   

同理，若第列的前三項(xiàng)是等比數(shù)列，則.

當(dāng)時(shí)，.

所以，無(wú)論怎樣的，都不能同時(shí)找到兩列數(shù) (除第1列外)，使它們的前三項(xiàng)都成等比數(shù)列.