Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T(mén)，且|PT|的最小值不小于．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）設(shè)橢圓的短半軸長(zhǎng)為1，圓F₂與x軸的右交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求直線l被圓F₂截得的弦長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可設(shè)且顯得的長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)|PF₂|取得最小值時(shí)|PT|取得最小值，進(jìn)而求得|PF₂|的最小值，進(jìn)而判斷出，求得e的范圍．
（2）依題意求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進(jìn)而表示出x₁+x₂和x₁x₂，代入直線方程求得y₁y₂的表達(dá)式和x₁•x₂+y₁•y₂，進(jìn)而根據(jù)OA⊥OB，判斷出=0求得k和a的關(guān)系，表示出圓心到直線度的距離，根據(jù)（1）中e的范圍確定c的范圍，進(jìn)而確定S的范圍，則其最大值可求．
解答：解：（1）依題意設(shè)切線長(zhǎng)，
∴當(dāng)且僅當(dāng)|PF₂|取得最小值時(shí)|PT|取得最小值，而|PF₂|_min=a-c，
∴，∴，從而解得，
故離心率e的取值范圍是；
（2）依題意Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），則直線的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立方程組，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有，，
代入直線方程得y₁y₂=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=，，
又OA⊥OB，∴，∴，∴，∴k=a，直線的方程為ax-y-a=0，
圓心F₂（c，0）到直線l的距離，
由圖象可知，
∴，∴，
∴，
所以．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化和化歸思想的運(yùn)用．