Question

【題目】已知數(shù)列{an}中， （Ⅰ）求證： 是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）數(shù)列{bn}滿足 ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 若不等式 對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由 ，得 = =1+ ， 即 +1=2（ ），
又 ，∴ 是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴ +1=2×2n﹣1=2n ， 即 ．
解：（Ⅱ）bn= ，
Tn=1× +…+（n﹣1）× ，
= ，
兩式相減得：
= ﹣n× =2﹣ ，
Tn=4﹣ ，
∴（﹣1）nλ＜4﹣ ，
令Sn=4﹣ ，由題意知Sn單調(diào)遞增．
若n為偶數(shù)，則λ＜4﹣ ，Sn|min=S2=3，
∴λ＜3．
若n為奇數(shù)，則﹣λ＜4﹣ ，Sn|min=S1=2，
∴﹣λ＜2，∴λ＞﹣2，
∴﹣2＜λ＜3．即λ的取值范圍是（﹣2，3）．
【解析】（Ⅰ）由 ，得 +1=2（ ），由此能證明 是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，并能求出{an}的通項(xiàng)公式an ． （Ⅱ）由bn= ，利用錯(cuò)位相減法能求出Tn=4﹣ ，從而（﹣1）nλ＜4﹣ ，由此能求出λ的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）(通項(xiàng)公式：)，還要掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．