Question

已知函數f（x）=ax³+bx，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x-2，則過點（2，2）能作幾條直線與曲線y=f（x）相切？（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：先求函數f（x）的解析式，只須求出切線斜率的值，f（1），列出方程組即可；設過點（2，2）的直線與曲線y=f（x）相切于點（t，f（t）），可得切線方程為y=（3t²-1）x-2t³，由切線過點（2，2）得：t³-3t²+2=0，從而問題轉化為方程t³-3t²+2=0的實根個數，利用導數法可求．

解答： 解：f（x）的導數f′（x）=3ax²+b，
由于y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x-2，
則

f′(1)=2 f(1)=2-2=0

，即

3a+b=2 a+b=0

，解得

a=1 b=-1

，
即有f（x）=x³-x，
設過點（2，2）的直線與曲線y=f（x）相切于點（t，f（t）），
則切線方程為：y-f（t）=f′（t）（x-t），
即y=（3t²-1）x-2t³
由切線過點（2，2）得：2=（3t²-1）•2-2t³，
過點（2，2）可作曲線y=f（x）的切線條數就是方程t³-3t²+2=0的實根個數，
令g（t）=t³-3t²+2，則g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t₁=0，t₂=2
當t變化時，g（t）、g′（t）的變化如下表

t	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	極大值2	↘	極小值-2	↗

由g（0）•g（2）=-4＜0知，故g（t）=0有三個不同實根可作三條切線．
故選D．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．