Question

已知A（2，3），B（5，4），C（7，8）
（1）若

AP

=

AB

+λ

AC

，(λ∈R)，試求當λ為何值時，點P在第三象限內．
（2）求∠A的余弦值．
（3）過B作BD⊥AC交于點D，求點D的坐標．
（4）求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），

AP

=(x-2，y-3)，

AB

=(3，1)，λ

AC

=(5λ，5λ)，

AP

=

AB

+λ

AC

，(λ∈R)，

x=5λ+5 y=5λ+4

，由點P在第三象限內，能求出λ＜-1．
（2）

AB

=(3，1)，

AC

=(5，5)，由此能求出cosA．
（3）利用A（2，3），C（7，8）求出直線AC的表達式，為y=x+1．也由此知AC的斜率為1，又因為BD⊥AC，所以知直線BD的斜率為k=-1，又因為直線BD過點B（5，4），所以可求得直線BD的表達式是y=-x+9．由此能求出兩直線的交點坐標．．
（2）根據兩點間的距離公式d=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，得到AC=5

2

，BD=

2

，由BD⊥AC，能求出S_△ABC．

解答：解：（1）設P（x，y），

AP

=(x-2，y-3)，

AB

=(3，1)，λ

AC

=(5λ，5λ)，
∵

AP

=

AB

+λ

AC

，(λ∈R)，
∴

x-2=3+5λ y-3=1+5λ

，即

x=5λ+5 y=5λ+4

，
∵點P在第三象限內，
∴

5λ+5＜0 5λ+4＜0

，解得：λ＜-1．
（2）∵

AB

=(3，1)，

AC

=(5，5)，
∴cosA=|

3×5+1×5

9+1 • 25+25

| =

2 5

5

．
（3）利用A（2，3），C（7，8）求出直線AC的表達式，
可用直線表達式y(tǒng)=kx+b，A、C兩點代進去求出．
得k=1，b=1，
直線AC的表達式為y=x+1．
也由此知AC的斜率為1，
又因為BD⊥AC，
所以知直線BD的斜率為k=-1，
又因為直線BD過點B（5，4），
所以可求得直線BD的表達式是y=-x+9
解方程組

y=x+1 y=-x+9

，得x=4，y=5′．
∴兩直線的交點坐標為D（4，5）．
（2）根據兩點間的距離公式d=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，
得到AC=5

2

，
BD=

2

，
由（1）知BD⊥AC，
所以S_△ABC=

1

2

AC×BD=5

2

×

2

×

1

2

=5．

點評：本題考查平面向量的運算，解題時要認真審題，注意直線方程的知識的靈活運用．